GEOMETRIC BROWNIAN MOTION

DRIFT.

幾何ブラウン運動

パラメータを指定して、経路と終点分布を表示します。

01 / PARAMETERS

02 / TRAJECTORIES

サンプル経路標本平均理論平均理論 5–95% 区間

観測時点

初期設定で計算しています。

終点の標本平均—

終点の標本中央値—

終点の標本 5–95% 区間—全経路の終点から算出

03 / DISTRIBUTION

MATHEMATICAL MODEL

\mathrm{d}S_t = \mu S_t\,\mathrm{d}t + \sigma S_t\,\mathrm{d}W_t

$\mu$ は平均的な成長の速さ、 $\sigma$ はランダムなゆらぎの大きさ。 $\sigma = 0$ にすると、すべての経路が同じ指数曲線になります。時間の単位は年、初期値の単位は自由です。

S_{t+\Delta t} = S_t\,\exp\!\left[\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)\Delta t + \sigma\sqrt{\Delta t}\,Z\right]

$\Delta t = \frac{T}{N}$ とし、 $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ は各ステップで独立な標準正規乱数です。厳密解の遷移式で各観測時点を計算し、間を線で結びます。

\mathbb{E}[S_t] = S_0\,e^{\mu t}

\operatorname{median}(S_t) = S_0\,\exp\!\left[\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t\right]

色の帯は、各時点での理論分布の中央 90% を示します。経路全体が 90% の確率で帯に収まるという意味ではありません。標本平均や分布は、経路数と乱数によって変わります。